Geometrías no euclidianas: más allá de lo plano

La geometría no euclidiana se refiere a cualquier sistema geométrico que se desvía de los postulados establecidos por Euclides. Este gran matemático griego, en sus "Elementos", sentó las bases de la geometría clásica, la cual ha sido la base de nuestra intuición espacial durante siglos.

¿Qué hace que una geometría sea no euclidiana?

Principalmente, la diferencia radica en el quinto postulado de Euclides, que establece que por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única recta paralela a la dada. Las geometrías no euclidianas niegan o modifican este postulado, dando lugar a propiedades espaciales muy diferentes.

Geometrías No Euclidianas: Más Allá de Euclides

A mediados del siglo XIX, matemáticos como Nikolai Lobachevsky y János Bolyai se dieron cuenta de que era posible construir geometrías consistentes negando el quinto postulado de Euclides. Así nacieron las geometrías no euclidianas, las cuales se dividen principalmente en dos tipos:

Tipos principales de geometrías no euclidianas:

• Geometría hiperbólica: En esta geometría, por un punto exterior a una recta se pueden trazar infinitas rectas paralelas. Los triángulos tienen una suma de ángulos interiores menor a 180 grados y las líneas rectas pueden curvarse en un espacio de curvatura negativa.

• Geometría elíptica o esférica: En este caso, no existen rectas paralelas, todas las rectas se intersecan en algún punto. Los triángulos tienen una suma de ángulos interiores mayor a 180 grados y el espacio tiene una curvatura positiva.

¿Por qué son importantes las geometrías no euclidianas?

• Más allá de lo plano: Nos permiten modelar espacios que no son planos, como la superficie de una esfera o un espacio curvo.

• Relatividad general: La teoría de la relatividad general de Einstein utiliza la geometría no euclidiana para describir la gravedad como una curvatura del espacio-tiempo.

• Cosmología: La geometría del universo en su conjunto también se describe utilizando conceptos de geometría no euclidiana.

• Matemáticas puras: Han ampliado enormemente el campo de las matemáticas y han llevado a nuevas y fascinantes teorías.

Imagina que la geometría es como un conjunto de reglas para dibujar y medir figuras. La geometría que aprendemos en la escuela, la euclidiana, es como una guía básica para dibujar en una hoja de papel plana. Sin embargo, hay otras geometrías donde las reglas son diferentes y nos permiten dibujar en superficies curvas, como una pelota o una silla de montar. Estas geometrías, donde las líneas rectas pueden curvarse y los ángulos de los triángulos no suman siempre 180 grados, se llaman geometrías no euclidianas. Son muy útiles para entender fenómenos como la gravedad y la forma del universo, que no se pueden explicar con la geometría plana.

Ya se que esto es poco intuitivo, voy a mostrar un ejemplo donde se pueda apreciar mas fácilmente:

Imagina una pelota de baloncesto, y te estas desplazando por su superficie curva, esta superficie es una geometría no euclidiana, elegimos un punto y usamos un compás para trazar una circunferencia. Ese punto lo llamamos centro o polo norte de la pelota y vamos a realizar la circunferencia en el ecuador de la pelota, si visualizamos esta circunferencia y queremos trazar su radio, que es la distancia del centro al extremo de la circunferencia, vemos que es una curva ya que nos desplazamos por la superficie de la pelota, esta curva que tenemos es medio meridiano, y si lo que hacemos es dividir el perímetro de la circunferencia o el ecuador de la pelota entre la distancia de este radio o medio meridiano su valor seria 2, esto es lo sorprendente de la geometría no euclidiana, y no 3,1416, de ahí la importancia de que aunque Pi es lo mismo, su valor puede variar dependiendo la curvatura del plano donde lo calcules, de ahí su importancia para realizar operaciones en física como en la relatividad general o en cosmología, y también en topología, robótica o gráficos por computadora.

Así que recordad esto cuando estéis usando el GPS, jugando a un videojuego, veas un edificio curvo, o le des patadas a un balón, en todo esto puedes apreciar el uso de la geometría no euclidiana.